2022 年考研数学（三） 第 7 题

向量组等价 $\iff$ 秩相等（且都等于合起来的秩）。对 $3$ 维列向量组，用三阶行列式是否为零来判满秩最省事。分别令两个行列式为零求出「坏点」$\lambda =-2,-1$，在这两点一组满秩一组降秩、秩不等故不等价，其余 $\lambda$（含 $\lambda =1$ 的退化情形）都等价。

本题考查向量组等价的判定。 两组向量都含 ${\alpha }_1,{\alpha }_2$，它们等价的充要条件是 $r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4)=r({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3,{\alpha }_4)$。用行列式判各组是否满秩最直接。

计算两个三阶行列式：
$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & 1\\ 1& 1& \lambda \end{array}\right|=(1-\lambda {)}^2(\lambda +2),$$
$$|{\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_4|=\left|\begin{array}{ccc}\lambda & 1& 1\\ 1& \lambda & \lambda \\ 1& 1& {\lambda }^2\end{array}\right|=(1-\lambda {)}^2(1+\lambda {)}^2.$$

当 $\lambda \ne 1,-2,-1$ 时： 两行列式都非零，两组都是 $3$ 维空间的极大无关组（秩均为 $3$），故等价。当 $\lambda =1$ 时： ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3={\alpha }_4=(1,1,1{)}^{\mathrm{T}}$，两组显然等价。

当 $\lambda =-2$ 或 $\lambda =-1$ 时： 两个行列式一个为 $0$、另一个不为 $0$，说明两组的秩不相等，从而不等价。综上等价当且仅当 $\lambda \ne -1$ 且 $\lambda \ne -2$。故选 C。