2022 年考研数学（三） 第 6 题

含参数方程组判解，先算系数行列式（这里是范德蒙德 $(b-a)(b-1)(a-1)$）：非零则唯一解。行列式为零的几种参数情形逐一代入增广矩阵——本题右端 $1,2,4$ 使各退化情形都产生矛盾行，故只有「唯一解或无解」，永远不会无穷多解。

本题考查含参数线性方程组解的判定。 系数矩阵是范德蒙德型，行列式好算，可先判断 $|A|$ 何时非零。

由范德蒙德行列式，$|A|=\left|\begin{array}{ccc}1& 1& 1\\ 1& a& a^2\\ 1& b& b^2\end{array}\right|=(b-a)(b-1)(a-1)$。

当 $a\ne 1,b\ne 1,a\ne b$ 时： $|A|\ne 0$，由克拉默法则方程组有唯一解。

当 $a=1$ 时： 增广矩阵 $(A,b)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& 1& 1& 2\\ 1& b& b^2& 4\end{array}\right)\to \left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 0& 0& 0& 1\\ 1& b& b^2& 4\end{array}\right)$，出现 $0=1$，$r(A)\ne r(A,b)$，无解。同理 $b=1$ 时无解；$a=b$ 时第 2、3 行系数相同而右端 $2\ne 4$，也无解。

综上，$Ax=b$ 只可能「有唯一解」或「无解」两种情形，绝不会有无穷多解。故选 D。