2022 年考研数学（三） 第 5 题

看到「特征值为某组数」的充要条件，且给了对角阵 $\Lambda$，本质是问「$A$ 与 $\Lambda$ 相似」。相似的标准定义式是 $A=P\Lambda P^{-1}$。四个选项分别对应等价 / 相似 / 正交相似 / 合同——只有相似能由特征值互异（可对角化）来充要刻画。

本题考查矩阵相似的定义与充要条件。 $\Lambda$ 是对角矩阵，其特征值恰为 $1,-1,0$（三个互异）。$A$ 的特征值为 $1,-1,0$ 当且仅当 $A$ 与 $\Lambda$ 有相同特征值——由于 $\Lambda$ 可对角化，这等价于 $A$ 与 $\Lambda$ 相似。

选项 B 正是相似的定义： $A=P\Lambda P^{-1}$（即 $P^{-1}AP=\Lambda$）。相似矩阵特征值相同；反之 $A$ 有三个互异特征值 $1,-1,0$ 时必可对角化且相似于 $\Lambda$。故 B 是充要条件，选 B。

为何 A、C、D 不对： A 是「$A$ 与 $\Lambda$ 等价（$A=P\Lambda Q$）」，只要求秩相同，是必要不充分（例如 $\mathrm{diag}(1,0,0)$ 与 $\mathrm{diag}(2,0,0)$ 等价却不相似）。

C 是「正交相似」，$A=Q\Lambda Q^{-1}$ 会强制 $A$ 为对称矩阵（$A^{\mathrm{T}}=(Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}{)}^{\mathrm{T}}=Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}=A$），但相似于对角阵的矩阵未必对称，故只充分不必要。D 是「合同（$A=P\Lambda P^{\mathrm{T}}$）」，一般矩阵相似与合同互不蕴含，既不充分也不必要。