2022 年考研数学（三） 第 4 题

同区间定积分比大小，转为比被积函数——不等号一时看不出就构造辅助函数 $f=A-B$，靠 $f(0)=0$ 加单调性定号。本题以中间量 $x$（或 $\frac{x}{1+\cos x}$）串起三者：$\frac{x}{2(1+\cos x)}<\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}<x<\frac{2x}{1+\sin x}$。

本题考查定积分比较大小。 三个积分区间都是 $[0,1]$，只需在 $(0,1)$ 内比较被积函数大小（用构造函数判单调证不等式）。

比较 $I_1$ 与 $I_2$： 两者分母都含 $1+\cos x$，只需比较分子 $\frac{x}{2}$ 与 $\ln (1+x)$。令 $f(x)=\ln (1+x)-\frac{x}{2}$，$f(0)=0$，$f^{\prime }(x)=\frac{1}{1+x}-\frac{1}{2}>0$（$x\in (0,1)$），故 $f$ 单调增，$f(x)>0$，即 $\ln (1+x)>\frac{x}{2}$。于是 $I_2>I_1$。

比较 $I_3$ 与 $I_2$： 同法可证 $(0,1)$ 内 $\ln (1+x)<x$，从而 $\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}<\frac{x}{1+\cos x}<x$。另一方面在 $(0,1)$ 内 $0<\sin x<1$，故 $1<1+\sin x<2$，得 $\frac{2x}{1+\sin x}>x$。因此被积函数满足 $\frac{2x}{1+\sin x}>x>\frac{\ln (1+x)}{1+\cos x}$，即 $I_3>I_2$。

综上 $I_1<I_2<I_3$。故选 A。