2022 年考研数学（三） 第 3 题

被积函数含参变量的变限积分，第一步永远是把参变量提到积分号外，再逐项对参变量求导。这里 $F$ 只依赖 $x-y$，所以对 $x$、对 $y$ 的偏导必相差一个负号（一阶），二阶再各乘一次导数 $\pm 1$ 后符号相同。坑：别忘了乘积求导会产生一对相消项。

本题考查变限积分求偏导数。 被积函数里含参变量 $x,y$，先把参变量从积分号内分离出来，再用变上限积分求导公式。

整理：$F(x,y)={\int }_0^{x-y}(x-y-t)f(t)dt=(x-y){\int }_0^{x-y}f(t)dt-{\int }_0^{x-y}tf(t)dt$。

对 $x$ 求偏导（上限 $x-y$ 对 $x$ 导数为 $1$）：
$$\frac{\partial F}{\partial x}={\int }_0^{x-y}f(t)dt+(x-y)f(x-y)-(x-y)f(x-y)={\int }_0^{x-y}f(t)dt.$$
再对 $x$：$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=f(x-y)$。

对 $y$ 求偏导（上限对 $y$ 导数为 $-1$）：
$$\frac{\partial F}{\partial y}=-{\int }_0^{x-y}f(t)dt-(x-y)f(x-y)+(x-y)f(x-y)=-{\int }_0^{x-y}f(t)dt.$$
再对 $y$：$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}=f(x-y)$。

因此 $\frac{\partial F}{\partial x}=-\frac{\partial F}{\partial y}$，$\frac{{\partial }^{2}F}{\partial x^2}=\frac{{\partial }^{2}F}{\partial y^2}$。故选 C。