2022 年考研数学（三） 第 2 题

问收敛数列有无最值：先求极限 $L$，再看能否找到比 $L$ 大的项和比 $L$ 小的项。有比 $L$ 大的项 $\Rightarrow$ 有最大值；有比 $L$ 小的项 $\Rightarrow$ 有最小值。本题 $a_1=2>1$ 且 $a_2<1$，两者兼备，故最大最小值都有。

本题考查数列极限的性质与最值存在性。 核心结论：若数列收敛于 $L$，则除有限项外所有项都聚集在 $L$ 的任意小邻域内；这时若存在比 $L$ 大的项就必有最大值，存在比 $L$ 小的项就必有最小值。

先求极限：$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\left(\sqrt[n]{n}-\frac{(-1{)}^n}{n}\right)=1$（$\sqrt[n]{n}\to 1$，$\frac{(-1{)}^n}{n}\to 0$）。

取邻域 $(0.99,1.01)$，则除有限项外所有 $a_n$ 都落入其中。而 $a_1=\sqrt[1]{1}-\frac{-1}{1}=1+1=2>1.01$，$a_2=\sqrt{2}-\frac{1}{2}\approx 0.914<0.99$，即在邻域外既有大项（$a_1$）又有小项（$a_2$）。

于是 $\{a_n\}$ 既能取到最大值（不小于 $a_1=2$），也能取到最小值（不大于 $a_2$）。事实上可进一步验证 $a_1=2$ 为最大值、$a_2=\sqrt{2}-\frac{1}{2}$ 为最小值。故选 A。