2022 年考研数学（三） 第 1 题

判断等价无穷小命题真假，一律化成 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=1$ 的形式逐条验证。坑在②：平方相等只能保证 $\frac{\alpha }{\beta }=\pm 1$，反号的反例即可否定；而 $\alpha \sim \beta$ 与 $\alpha -\beta =o(\alpha )$ 是等价说法（③④同时成立）。

本题考查等价无穷小与 $o(\cdot )$ 记号的含义。 关键工具：$\alpha \sim \beta$ 即 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=1$；$g=o(\alpha )$ 即 $\lim \frac{g}{\alpha }=0$。逐一验证四个命题。

命题①（真）： 若 $\lim \frac{\alpha }{\beta }=1$，则 $\lim \frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}={\left(\lim \frac{\alpha }{\beta }\right)}^2=1$，故 ${\alpha }^2\sim {\beta }^2$。

命题②（假）： 反例 $\beta =-\alpha$。此时 $\frac{{\alpha }^2}{{\beta }^2}=1$ 即 ${\alpha }^2\sim {\beta }^2$，但 $\frac{\alpha }{\beta }=-1\ne 1$，$\alpha ,\beta$ 只是同阶而不等价。故②不成立。

命题③（真）： $\lim \frac{\alpha -\beta }{\alpha }=1-\lim \frac{\beta }{\alpha }=1-1=0$（用了 $\alpha \sim \beta$），故 $\alpha -\beta =o(\alpha )$。

命题④（真）： 由 $\alpha -\beta =o(\alpha )$ 得 $\lim \frac{\alpha -\beta }{\alpha }=0$，于是 $\lim \frac{\beta }{\alpha }=1-\lim \frac{\alpha -\beta }{\alpha }=1$，即 $\alpha \sim \beta$。综上真命题为①③④，选 C。