2022 年考研数学（三） 第 10 题

带未知参数的分布 + 事件独立：先用 $P(AB)=P(A)P(B)$ 与归一化 $\sum p=1$ 解出参数，再走 $\mathrm{Cov}=E(XY)-E(X)E(Y)$。坑：$\max /\min$ 事件要先翻译成具体格子；$E(X)$ 为负时 $-E(X)E(Y)$ 会变加号。

本题考查用事件独立性确定分布，再算协方差。 先由独立条件和概率归一化定出 $a,b$，再求 $E(X),E(Y),E(XY)$。

记 $A=\{\max \{X,Y\}=2\}$，$B=\{\min \{X,Y\}=1\}$。$P(A)=P\{Y=2\}=b+0.1$；$P(B)=P\{X=1,Y=1\}+P\{X=1,Y=2\}=0.1+0.1=0.2$；$P(AB)=P\{X=1,Y=2\}=0.1$。

由独立 $P(AB)=P(A)P(B)$：$0.1=(b+0.1)\times 0.2\Rightarrow b=0.4$。再由所有概率之和为 $1$：$0.1+0.1+b+a+0.1+0.1=1\Rightarrow a=0.2$。

计算期望：$E(X)=-1\times (0.1+0.1+0.4)+1\times (0.2+0.1+0.1)=-0.2$；$E(Y)=0\times 0.3+1\times 0.2+2\times 0.5=1.2$；$E(XY)=(-2)(0.4)+(-1)(0.1)+0(0.3)+1(0.1)+2(0.1)=-0.6$。

故 $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=-0.6-(-0.2)(1.2)=-0.6+0.24=-0.36$。选 B。