2022 年考研数学（三） 第 11 题

$1^{\infty }$ 极限的通用套路：$u^v=e^{v\ln u}$，转而求 $\lim v\ln u$（常是 $\infty \cdot 0$，化成分式用等价无穷小）。本题把 $\ln \frac{1+e^x}{2}$ 凑成 $\ln (1+\text{小量})$ 后连用三个等价无穷小，得指数极限 $\frac{1}{2}$，答案 $\sqrt{e}$。

本题考查 $1^{\infty }$ 型幂指函数极限。 底 $\frac{1+e^x}{2}\to 1$、指数 $\cot x\to \infty$，属 $1^{\infty }$ 未定式，取对数化为 $e^{\lim (\text{指数}\cdot \ln \text{底})}$。

${\left(\frac{1+e^x}{2}\right)}^{\cot x}=e^{\cot x\cdot \ln \frac{1+e^x}{2}}$，只需求 $\underset{x\to 0}{\lim }\cot x\cdot \ln \frac{1+e^x}{2}$。

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \frac{1+e^x}{2}}{\tan x}\stackrel{\tan x\sim x}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{e^x-1}{2}\right)}{x}\stackrel{\ln (1+u)\sim u}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\frac{e^x-1}{2}}{x}\stackrel{e^x-1\sim x}{=}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x}{2x}=\frac{1}{2}.$$

因此原极限 $=e^{1/2}=\sqrt{e}$。