2022 年考研数学（三） 第 12 题

分母是判别式 $<0$ 的二次式、分子是一次式：把分子拆成「分母导数的适当倍 + 常数」，前者给 $\ln$、后者配方给 $\arctan$。坑：$\frac{1}{(x+a{)}^2+k^2}$ 积分要带系数 $\frac{1}{k}$，本题 $k=\sqrt{3}$，别漏。

本题考查有理函数定积分：分母为无实根的二次三项式、分子为一次式。 标准做法是把分子拆成「分母的导数」加常数，分别积出 $\ln$ 项与 $\arctan$ 项。

注意 $(x^2+2x+4{)}^{\prime }=2x+2$，故 $\frac{2x-4}{x^2+2x+4}=\frac{2x+2}{x^2+2x+4}-\frac{6}{x^2+2x+4}$。

第一部分（$\ln$ 项）： ${\int }_0^2\frac{2x+2}{x^2+2x+4}dx=\ln (x^2+2x+4){|}_0^2=\ln 12-\ln 4=\ln 3$。

第二部分（$\arctan$ 项）： 配方 $x^2+2x+4=(x+1{)}^2+3$，
$${\int }_0^2\frac{6}{(x+1{)}^2+3}dx=6\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}\arctan \frac{x+1}{\sqrt{3}}{|}_0^2=2\sqrt{3}\left(\arctan \sqrt{3}-\arctan \frac{1}{\sqrt{3}}\right)=2\sqrt{3}\left(\frac{\pi }{3}-\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\sqrt{3}}{3}\pi .$$

因此原积分 $=\ln 3-\frac{\sqrt{3}}{3}\pi$。