2022 年考研数学（三） 第 13 题

求特殊点的高阶导数，先查函数的奇偶性和周期性。偶函数求奇数阶导得奇函数，奇函数在 $0$ 处为 $0$；再用周期把 $2\pi$ 平移回 $0$。坑：不要盲目硬算导数，对称性往往一步到位。

本题考查高阶导数，巧用函数的奇偶性与周期性。 直接连求三次导会很繁，利用对称性可秒杀。

奇偶性： $f(-x)=e^{\sin (-x)}+e^{-\sin (-x)}=e^{-\sin x}+e^{\sin x}=f(x)$，故 $f$ 是偶函数。从而 $f^{\prime }$ 为奇、$f^{\prime \prime }$ 为偶、$f^{\prime \prime \prime }$ 为奇函数。由奇函数在原点取值为 $0$ 得 $f^{\prime \prime \prime }(0)=0$。

周期性： $\sin x$ 以 $2\pi$ 为周期，故 $f(x)$ 以 $2\pi$ 为周期，其各阶导函数也都以 $2\pi$ 为周期。因此 $f^{\prime \prime \prime }(2\pi )=f^{\prime \prime \prime }(0)=0$。