2022 年考研数学（三） 第 14 题

全平面二重积分遇到分段函数：关键是由「每个因子非零的条件」交出真正的有界积分区域。这里被积函数在区域上恰好化简为 $e^y$（与 $x$ 无关），先积 $y$ 再积 $x$ 即可。答案是完全平方 $(e-1{)}^2$。

本题考查无界区域上的二重积分（本质是卷积）。 积分区域是全平面，但被积函数只在有界区域上非零，先定出该区域再化为有界二重积分。

由 $f$ 的定义：$f(x)$ 仅当 $0\le x\le 1$ 非零，$f(y-x)$ 仅当 $0\le y-x\le 1$ 非零。故 $f(x)f(y-x)$ 只在 $D=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,x\le y\le x+1\}$ 上非零，且在其上 $f(x)f(y-x)=e^x\cdot e^{y-x}=e^y$。

于是
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }dx{\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)f(y-x)dy={\int }_0^{1}dx{\int }_x^{x+1}{e}^{y}dy={\int }_0^1\left(e^{x+1}-e^x\right)dx.$$

$$=\left(e^{x+1}-e^x\right){|}_0^1=(e^2-e)-(e-1)=e^2-2e+1.$$