2022 年考研数学（三） 第 15 题

行变换 $\leftrightarrow$ 左乘初等矩阵，列变换 $\leftrightarrow$ 右乘初等矩阵。给了「变换后的结果 $B$」求 $A^{-1}$，就把变换列成 $P_{1}A{P}_2=B$，再对整式取逆得 $A^{-1}=P_2{B}^{-1}{P}_1$，避免直接还原 $A$。坑：行变换的初等矩阵放左边、列变换放右边，顺序别反。

本题考查初等变换与初等矩阵、矩阵求逆。 把两次初等变换写成左乘/右乘初等矩阵，反解出 $A^{-1}$。

交换第 $2,3$ 行 $=$ 左乘 $P_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)$；将第 $2$ 列的 $-1$ 倍加到第 $1$ 列 $=$ 右乘 $P_2=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。记 $B=\left(\begin{array}{ccc}-2& 1& -1\\ 1& -1& 0\\ -1& 0& 0\end{array}\right)$，则 $P_{1}A{P}_2=B$，故 $A=P_1^{-1}B{P}_2^{-1}$，从而 $A^{-1}=P_2{B}^{-1}{P}_1$。

用初等行变换求 $B^{-1}$，得 $B^{-1}=\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& -1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)$。

于是 $A^{-1}=P_2{B}^{-1}{P}_1=\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ -1& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}0& 0& -1\\ 0& -1& -1\\ -1& -1& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ -1& 1& -1\end{array}\right)$，迹 $\mathrm{tr}(A^{-1})=0+0+(-1)=-1$。