2022 年考研数学（三） 第 18 题

经济最优化（求最大利润的产量）：先把利润写成投入 $x,y$ 的二元函数 $L=pQ-\text{成本}$，再解 $L_x^{\prime }=L_y^{\prime }=0$。两个方程结构相似时「相除」可快速消去公共非线性项得到 $x,y$ 的比例关系，再换元 $z=y^{1/3}$ 降为一元二次。坑：本题问的是产量 $Q$，别停在 $x,y$；由实际意义断定唯一驻点即最大值点，不必验二阶条件。

本题考查微分学的经济应用与二元函数极值。 利润 = 收益 − 成本，把两者都表示成 $x,y$ 的二元函数，再用二元函数极值的必要条件求驻点。

建立利润函数。 成本 $C(x,y)=6x+8y$。收益 $R=pQ=(1160-1.5Q)Q$，代入 $Q=12x^{1/2}{y}^{1/6}$（$1.5Q=18x^{1/2}{y}^{1/6}$）：
$$R(x,y)=13920x^{1/2}{y}^{1/6}-216x{y}^{1/3}.$$
故利润 $L(x,y)=13920x^{1/2}{y}^{1/6}-216x{y}^{1/3}-6x-8y$。

求驻点。 令偏导为零：
$$L_x^{\prime }=6960x^{-1/2}{y}^{1/6}-216y^{1/3}-6=0,L_y^{\prime }=2320x^{1/2}{y}^{-5/6}-72x{y}^{-2/3}-8=0.$$
整理两式（分别乘 $x,y$）得 $2320x^{1/2}{y}^{1/6}-72x{y}^{1/3}=2x$ 与 $=8y$，两式相除得 $x=4y$。

代入求解。 将 $x=4y$ 代入，化简得 $580y^{-1/3}-36y^{1/3}=1$。令 $z=y^{1/3}$，即 $36z^2+z-580=0$，解得 $z=4$（负根舍去），故 $y=z^3=64$，$x=4y=256$，唯一驻点 $(256,64)$。

由问题的实际意义，最大利润必存在，故在唯一驻点处取得。此时产量
$$Q=12\sqrt{256}\cdot \sqrt[6]{64}=12\times 16\times 2=384.$$
即利润最大时产量 $Q=384$。