2022 年考研数学（三） 第 19 题

被积函数出现 $\frac{(\cdots )}{x^2+y^2}$ 且区域含圆弧 $\to$ 极坐标，$\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}$ 直接变成 $(\cos \theta -\sin \theta {)}^2$。区域边界一段是圆、一段是直线，就按 $\theta$ 分块（直线的极坐标是 $r=\frac{2}{\sin \theta -\cos \theta }$）。坑：第二块里 $r$ 上限的平方与被积函数分子恰好约分，别急着展开。

本题考查二重积分，被积函数含 $x^2+y^2$ 宜用极坐标。 区域 $D$ 由直线 $y=x+2$（即 $x=y-2$）、圆 $x^2+y^2=4$ 及 $x$ 轴围成（位于上半平面）。

被积函数在极坐标下 $\frac{(x-y{)}^2}{x^2+y^2}=\frac{r^2(\cos \theta -\sin \theta {)}^2}{r^2}=(\cos \theta -\sin \theta {)}^2$。圆 $x^2+y^2=4$ 为 $r=2$；直线 $y=x+2$ 为 $r=\frac{2}{\sin \theta -\cos \theta }$。把 $D$ 拆成两块：$D_1:0\le \theta \le \frac{\pi }{2},0\le r\le 2$；$D_2:\frac{\pi }{2}\le \theta \le \pi ,0\le r\le \frac{2}{\sin \theta -\cos \theta }$。

$D_1$ 部分：
$${\int }_0^{\pi /2}(\cos \theta -\sin \theta {)}^{2}d\theta {\int }_0^{2}rdr=2{\int }_0^{\pi /2}(1-2\sin \theta \cos \theta )d\theta =2\left(\frac{\pi }{2}-{\sin }^2\theta {|}_0^{\pi /2}\right)=2\left(\frac{\pi }{2}-1\right)=\pi -2.$$

$D_2$ 部分： 内层 ${\int }_0^{2/(\sin \theta -\cos \theta )}rdr=\frac{r^2}{2}{|}_0^{2/(\sin \theta -\cos \theta )}=\frac{2}{(\sin \theta -\cos \theta {)}^2}$，而 $(\cos \theta -\sin \theta {)}^2=(\sin \theta -\cos \theta {)}^2$，故
$${\int }_{\pi /2}^{\pi }(\cos \theta -\sin \theta {)}^2\cdot \frac{2}{(\sin \theta -\cos \theta {)}^2}d\theta ={\int }_{\pi /2}^{\pi }2d\theta =\pi .$$

合并 $I=(\pi -2)+\pi =2\pi -2$。