2022 年考研数学（三） 第 20 题

缺项幂级数求和三步：比值法定收敛域（含端点单独判）；按系数结构拆成能识别的标准级数；每块用「乘 $x$ / 逐项求导或积分」凑成 $\frac{1}{1+x^2}$（给 $\arctan$）或 $\frac{1}{1-t^2}$（给 $\ln$）。坑：拆出 $\frac{1}{x}$ 因子后 $x=0$ 处要用原级数首项单独补定义（$S(0)=2$）。

本题考查幂级数的收敛域与和函数。 这是缺项幂级数，先用比值法求收敛半径，再拆成两个熟悉的幂级数分别求和。

收敛域。 记一般项 $u_n=\frac{(-4{)}^n+1}{4^n(2n+1)}{x}^{2n}$，${\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right|={\lim }_{n\to \infty }\left|\frac{(-4{)}^{n+1}+1}{(-4{)}^n+1}\cdot \frac{2n+1}{4(2n+3)}\right|x^2=x^2$。$x^2<1$ 收敛，半径为 $1$。$x=\pm 1$ 时级数 $=\sum \frac{(-1{)}^n}{2n+1}+\sum \frac{1}{4^n(2n+1)}$ 均收敛，故收敛域为 $[-1,1]$。

拆分求和。 记 $S_1(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{2n+1}{x}^{2n}$，$S_2(x)={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{1}{4^n(2n+1)}{x}^{2n}$，则 $S(x)=S_1(x)+S_2(x)$。

求 $S_1$： $[x{S}_1(x){]}^{\prime }={\sum }_{n=0}^{\infty }(-1{)}^n{x}^{2n}=\frac{1}{1+x^2}$，故 $x{S}_1(x)={\int }_0^x\frac{dt}{1+t^2}=\arctan x$，得 $S_1(x)=\frac{\arctan x}{x}$（$x\ne 0$），$S_1(0)=1$。

求 $S_2$： $[x{S}_2(x){]}^{\prime }={\sum }_{n=0}^{\infty }\frac{x^{2n}}{4^n}=\frac{1}{1-(x/2{)}^2}=\frac{1}{2-x}+\frac{1}{2+x}$，故 $x{S}_2(x)={\int }_0^x\left(\frac{1}{2-t}+\frac{1}{2+t}\right)dt=\ln \frac{2+x}{2-x}$，得 $S_2(x)=\frac{1}{x}\ln \frac{2+x}{2-x}$（$x\ne 0$），$S_2(0)=1$。

合并： 当 $x\in [-1,0)\cup (0,1]$ 时 $S(x)=\frac{\arctan x}{x}+\frac{1}{x}\ln \frac{2+x}{2-x}$；当 $x=0$ 时 $S(0)=S_1(0)+S_2(0)=2$。