2022 年考研数学（三） 第 17 题

「解方程 + 求渐近线」两步走。一阶线性方程直接套积分因子公式，$\int (2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx$ 用 $u=\sqrt{x}$ 化成 $\int$ 多项式乘 $e^u$。渐近线三查法：定义域端点看铅直、$x\to \infty$ 看水平、都无则算 $k=\lim \frac{y}{x},b=\lim (y-kx)$ 定斜渐近线。坑：定义域是 $(0,+\infty )$，$x\to 0^{+}$ 极限有限所以没有铅直渐近线。

本题考查一阶线性微分方程求解与渐近线判定。 方程是一阶非齐次线性方程，先用公式解出 $y(x)$，再逐类讨论铅直、水平、斜渐近线。

解方程。 取 $P(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$，$\int Pdx=\sqrt{x}$。由通解公式
$$y=e^{-\sqrt{x}}\left[\int (2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx+C\right].$$
令 $u=\sqrt{x}$（$x=u^2,dx=2udu$）：$\int (2+\sqrt{x})e^{\sqrt{x}}dx=2\int (2+u)u{e}^{u}du=2u^2{e}^u+C_1=2x{e}^{\sqrt{x}}+C_1$。

代回得 $y=e^{-\sqrt{x}}\left(2x{e}^{\sqrt{x}}+C\right)=2x+C{e}^{-\sqrt{x}}$。由 $y(1)=3$：$3=2+C{e}^{-1}\Rightarrow C=e$。故 $y(x)=2x+e^{1-\sqrt{x}},x\in (0,+\infty )$。

求渐近线。 铅直：$y(x)$ 在 $(0,+\infty )$ 连续，且 ${\lim }_{x\to 0^{+}}y=2\cdot 0+e^1=e$（有限），无铅直渐近线。水平：${\lim }_{x\to +\infty }y=+\infty$，无水平渐近线。

斜渐近线： $k={\lim }_{x\to +\infty }\frac{y}{x}={\lim }_{x\to +\infty }\frac{2x+e^{1-\sqrt{x}}}{x}=2$，$b={\lim }_{x\to +\infty }(y-2x)={\lim }_{x\to +\infty }{e}^{1-\sqrt{x}}=0$。故 $y=2x$ 是斜渐近线，也是该曲线唯一的渐近线。