2020 年考研数学（三） 第 12 题

区域绕 $y$ 轴、边界是 $y=f(x)$ → 柱壳法 $2\pi {\int }_a^{b}x[\text{上边界}-\text{下边界}]\mathrm{d}x$ 最省事。坑：别漏乘 $x$；上下边界在 $x=1$ 处相交（都等于 $1/2$）。

本题考查旋转体体积（柱壳法）。 $D$ 在 $[0,1]$ 上，上边界 $y=\frac{1}{1+x^2}$，下边界 $y=\frac{x}{2}$，绕 $y$ 轴旋转用柱壳法：$V=2\pi {\int }_0^{1}x\left(\frac{1}{1+x^2}-\frac{x}{2}\right)\mathrm{d}x$。

$V=2\pi {\int }_0^1\left(\frac{x}{1+x^2}-\frac{x^2}{2}\right)\mathrm{d}x=2\pi {\left[\frac{1}{2}\ln (1+x^2)-\frac{x^3}{6}\right]}_0^1=2\pi \left(\frac{1}{2}\ln 2-\frac{1}{6}\right)=\pi \ln 2-\frac{\pi }{3}$。