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2018 年考研数学（三） 第 6 题

选择题 · 4 分

设 为 阶矩阵，记 为矩阵 的秩， 表示分块矩阵，则（　　）
  • A
  • B
  • C
  • D
提示 1看到 这种分块，先提公因子：。
提示 2下界： 是它的子块，秩不减；上界：乘积 秩不超过 。
提示 3夹逼得等号。注意 无法提出右乘因子，故 B 不真。
答案与详解

答案 A

思路（为什么这么做）

含 的分块秩 → 用 加「子块秩不减、乘积秩不增」双向夹逼。坑： 在左侧，提不出 ，B 选项不成立。

解答

本题考查分块矩阵的秩以及「矩阵乘法不增秩」。 关键恒等式 。

一方面 是 的子块，故 ；另一方面由 及乘积秩不超过因子秩，。

两不等式合并得 ，故 A 正确。（B 一般不成立，因 未必能写成 右乘某矩阵；C、D 也可举反例否定。）

考点：矩阵的秩、分块矩阵

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