2018 年考研数学（三） 第 5 题

特征值全相同却要判相似 → 比较 $r(\lambda E-A)$（几何重数）。坑：特征值相同只是必要条件，必须再看秩；本题化归为求 $E-A$ 的秩是否等于 $2$。

本题考查相似矩阵的必要条件：相似矩阵有相同特征值，且对同一特征值 $\lambda$ 有相同的 $r(\lambda E-\cdot )$。 记 $M$ 为题给矩阵，四个选项均为上三角、对角元全为 $1$，故特征值都是 $\lambda =1$（三重）。

对 $M$：$E-M=\left(\begin{array}{ccc}0& -1& 0\\ 0& 0& -1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$，$r(E-M)=2$，即属于 $\lambda =1$ 的线性无关特征向量只有 $3-2=1$ 个。

逐一算 $r(E-\cdot )$：选项 A 的 $r(E-A)=2$，而 B、C、D 均为 $1$。只有 A 与 $M$ 的秩相同，故 $A$ 与 $M$ 相似。选 A。