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2018 年考研数学（三）第 4 题

选择题 · 4 分

设某产品的成本函数

C (Q)

可导，其中

Q

为产量。若产量为

Q_{0}

时平均成本最小，则（　　）

A $C^{'} (Q_{0}) = 0$
B $C^{'} (Q_{0}) = C (Q_{0})$
C $C^{'} (Q_{0}) = Q_{0} C (Q_{0})$
D $Q_{0} C^{'} (Q_{0}) = C (Q_{0})$

提示 1

平均成本是

\overline{C} (Q) = C (Q) / Q

，对它求导找极小值。

提示 2

用商的求导法则写出

\overline{C}^{'} (Q)

，令其在

Q_{0}

为零。

提示 3

化简零点条件得

Q_{0} C^{'} (Q_{0}) = C (Q_{0})

，即边际成本等于平均成本。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

「平均成本最小」是经济应用信号 → 对

\overline{C} = C / Q

求导令零。结论恒为「边际成本

=

平均成本」，即

Q C^{'} (Q) = C (Q)

。坑：别把

C^{'} (Q_{0}) = 0

（总成本极值）当成平均成本极值条件。

解答

本题考查导数的经济意义：平均成本取极小的必要条件。 平均成本函数

\overline{C} (Q) = \frac{C ( Q )}{Q}

。

求导：

\overline{C}^{'} (Q) = \frac{C ^{'} ( Q ) Q - C ( Q )}{Q ^{2}}

。由

Q_{0}

处平均成本最小，得

\overline{C}^{'} (Q_{0}) = \frac{C ^{'} ( Q _{0} ) Q _{0} - C ( Q _{0} )}{Q _{0}^{2}} = 0

。

于是

C^{'} (Q_{0}) Q_{0} = C (Q_{0})

，即

Q_{0} C^{'} (Q_{0}) = C (Q_{0})

（此即「边际成本

=

平均成本」）。故选 D。

考点：边际与弹性（导数的经济意义）、函数的单调性与极值

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