2018 年考研数学（三） 第 3 题

三个积分比大小、不必精算 → 用「对称区间奇函数积分为零」化简，再用「保号性」与常数 $1$ 比较。坑：$M$ 化简后正好是 $\pi ={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}1dx$，作为标尺。

本题考查定积分的性质：奇函数在对称区间积分为零、以及保号性比较大小。 无需算出全部积分值。

$M={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{(1+x{)}^2}{1+x^2}dx={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\left(1+\frac{2x}{1+x^2}\right)dx$，其中 $\frac{2x}{1+x^2}$ 为奇函数积分为 $0$，故 $M={\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}1dx=\pi$。

当 $-\frac{\pi }{2}\le x\le \frac{\pi }{2}$ 时 $1+\sqrt{\cos x}>1>\frac{1+x}{e^x}$，由定积分保号性 ${\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}(1+\sqrt{\cos x})dx>{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}1dx>{\int }_{-\pi /2}^{\pi /2}\frac{1+x}{e^x}dx$，即 $K>\pi >N$，又 $M=\pi$，故 $K>M>N$。选 C。