2018 年考研数学（三） 第 2 题

条件是「积分值 + 二阶可导」求「中点值符号」→ 在中点作二阶泰勒并对区间积分，让一次项消去。坑：结论只受 $f^{\prime \prime }$ 号控制，$f^{\prime }$ 的符号给不出中点值符号。

本题考查带拉格朗日余项的泰勒公式与定积分结合估计函数值。 在 $x=\frac{1}{2}$ 处展开：$f(x)=f\left(\frac{1}{2}\right)+f^{\prime }\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)+\frac{f^{\prime \prime }(\xi )}{2}{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2$。

在 $[0,1]$ 上积分，利用 ${\int }_0^1\left(x-\frac{1}{2}\right)dx=0$，得 $0={\int }_0^{1}f(x)dx=f\left(\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}{\int }_0^1{f}^{\prime \prime }(\xi ){\left(x-\frac{1}{2}\right)}^{2}dx$。

因 ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2\ge 0$，当 $f^{\prime \prime }(x)>0$ 时右端积分 $>0$，故 $f\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{1}{2}{\int }_0^1{f}^{\prime \prime }(\xi ){\left(x-\frac{1}{2}\right)}^{2}dx<0$。而只给 $f^{\prime }$ 的符号无法定出 $f\left(\frac{1}{2}\right)$ 的符号，排除 A、C。故选 D。