2018 年考研数学（三） 第 1 题

四个选项只在 $x=0$ 附近的绝对值/根号结构上不同 → 用导数定义看差商左右极限。坑：分子出现一次的 $|x|$ 时 $|x|/x$ 左右反号，极限便不存在。

本题考查用导数定义判断含 $|x|$ 的函数在一点的可导性。 关键是回到差商 $\frac{f(x)-f(0)}{x}$，比较左、右极限。

(A) $\sin |x|\sim |x|$，$f(x)-f(0)=|x|\sin |x|\sim x^2$，$f^{\prime }(0)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2}{x}=0$，可导；(B) $|x|\sin \sqrt{|x|}\sim |x{|}^{3/2}$，导数为 $0$，可导；(C) $\cos |x|=\cos x$ 为偶函数处处可导。

(D) 用等价无穷小 $\cos \sqrt{|x|}-1\sim -\frac{1}{2}|x|$，故 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\cos \sqrt{|x|}-1}{x}=-\frac{1}{2}\underset{x\to 0}{\lim }\frac{|x|}{x}$，左极限 $\frac{1}{2}$、右极限 $-\frac{1}{2}$ 不相等，极限不存在，$f$ 在 $x=0$ 处不可导。故选 D。