2018 年考研数学（三） 第 21 题

「$A$ 列变换到 $B$、求 $AP=B$ 的 $P$」→ 转置成 $P^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}$（行变换），对 $(A^{\mathrm{T}}\mid E)$ 消元。坑：列变换对应右乘，转置后才是熟悉的行变换消元；先用 $r(A)=r(B)$ 定参数 $a$。

本题考查初等（列）变换、矩阵秩与解矩阵方程。 初等列变换不改变秩，故 $r(A)=r(B)$。

（I）$A$ 的秩：$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& a\\ 1& 3& 0\\ 2& 7& -a\end{array}\right)$ 前两列线性无关，$r(A)=2$（第三列可由前两列线性表示时秩为 $2$）。于是 $r(B)=2$，即 $|B|=\left|\begin{array}{ccc}1& a& 2\\ 0& 1& 1\\ -1& 1& 1\end{array}\right|=2-a=0$，解得 $a=2$。

（II）由 $AP=B$ 两边转置得 $P^{\mathrm{T}}{A}^{\mathrm{T}}=B^{\mathrm{T}}$，即 $A^{\mathrm{T}}$ 经初等行变换化为 $B^{\mathrm{T}}$。对 $(A^{\mathrm{T}}\mid E)$ 作行变换化成 $(B^{\mathrm{T}}\mid P^{\mathrm{T}})$ 即得 $P^{\mathrm{T}}$。

$(A^{\mathrm{T}}\mid E)=\left(\begin{array}{cccccc}1& 1& 2& 1& 0& 0\\ 2& 3& 7& 0& 1& 0\\ 2& 0& -2& 0& 0& 1\end{array}\right)\stackrel{\text{行变换}}{\to }\left(\begin{array}{cccccc}1& 0& -1& 3& -1& 0\\ 2& 1& 1& 4& -1& 0\\ 2& 1& 1& -2& 1& 1\end{array}\right)$，故 $P^{\mathrm{T}}=\left(\begin{array}{ccc}3& -1& 0\\ 4& -1& 0\\ -2& 1& 1\end{array}\right)$，$P=\left(\begin{array}{ccc}3& 4& -2\\ -1& -1& 1\\ 0& 0& 1\end{array}\right)$。可验证 $AP=B$ 且 $|P|=1\ne 0$。