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2018 年考研数学（三）第 22 题

解答题 · 11 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立，

X

的概率分布为

P {X = 1} = P {X = - 1} = \frac{1}{2}

，

Y

服从参数为

λ

的泊松分布。令

Z = X Y

。

（

I

）求

Cov (X, Z)

；

（

II

）求

Z

的概率分布。

提示 1

（I）用

Cov (X, X Y) = E (X^{2} Y) - E (X) E (X Y)

，再用独立性拆成

E (X^{2}) E (Y)

等。

提示 2

注意

E (X) = 0

使第二项消失，

E (X^{2}) = 1

，故

Cov = E (Y) = λ

。

提示 3

（II）

Z = X Y

取整数：按

k > 0, k < 0, k = 0

三类，用

X = \pm 1

与泊松概率乘积（

k = 0

两种情形合并）。

答案与详解

答案（I） $Cov (X, Z) = λ$ ；（II） $P {Z = k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ} (k = 1, 2, \dots)$ ， $P {Z = 0} = e^{- λ}$ ， $P {Z = k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{λ ^{- k}}{( - k )!} e^{- λ} (k = - 1, - 2, \dots)$

思路（为什么这么做）

Z = X Y

、

X = \pm 1

、

Y \sim P (λ)

→ 协方差用

E (X) = 0, E (X^{2}) = 1

直接化简得

λ

；分布按

k

正/负/零三段写。坑：

k = 0

由

X = 1

与

X = - 1

两条路径合并成

e^{- λ}

，别漏。

解答

本题考查协方差计算与两个随机变量乘积的分布。 先算数字特征：

E (X) = 0, E (X^{2}) = 1, E (Y) = λ

，且

X, Y

独立。

（I）

Cov (X, Z) = Cov (X, X Y) = E (X^{2} Y) - E (X) E (X Y) = E (X^{2}) E (Y) - E^{2} (X) E (Y) = 1 \cdot λ - 0 = λ

。

（II）

Y

取值

0, 1, 2, \dots

，

P {Y = j} = \frac{λ ^{j}}{j !} e^{- λ}

；

X = \pm 1

，故

Z = X Y

取遍全体整数，用独立性分情况计算。

当

k

为正整数：

P {Z = k} = P {X = 1, Y = k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{λ ^{k}}{k !} e^{- λ}

；当

k

为负整数：

P {Z = k} = P {X = - 1, Y = - k} = \frac{1}{2} \cdot \frac{λ ^{- k}}{( - k )!} e^{- λ}

；当

k = 0

：

P {Z = 0} = P {X = 1, Y = 0} + P {X = - 1, Y = 0} = \frac{1}{2} e^{- λ} + \frac{1}{2} e^{- λ} = e^{- λ}

。

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