乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2018 年

2018 年考研数学（三）第 23 题

解答题 · 11 分

设总体

X

的概率密度为

f (x; σ) = \frac{1}{2 σ} e^{- \frac{∣ x ∣}{σ}}, - \infty < x < + \infty

，其中

σ \in (0, + \infty)

为未知参数，

X_{1}, X_{2}, \dots, X_{n}

为来自总体

X

的简单随机样本。记

σ

的最大似然估计量为

\overset{σ}{^}

。

（

I

）求

\overset{σ}{^}

；

（

II

）求

E (\overset{σ}{^}), D (\overset{σ}{^})

。

提示 1

（I）写出似然

L = \prod f (x_{i}; σ)

，取对数后对

σ

求导令零。

提示 2

ln L = - n ln 2 - n ln σ - \frac{1}{σ} \sum ∣ x_{i} ∣

，导数零点给

\overset{σ}{^} = \frac{1}{n} \sum ∣ X_{i} ∣

。

提示 3

（II）注意

∣ X ∣

服从参数

1/ σ

的指数分布：

E ∣ X ∣ = σ, D ∣ X ∣ = σ^{2}

，再用独立同分布求

E (\overset{σ}{^}), D (\overset{σ}{^})

。

答案与详解

答案（I） $\overset{σ}{^} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n ∣ X_{i} ∣$ ；（II） $E (\overset{σ}{^}) = σ, D (\overset{σ}{^}) = \frac{σ ^{2}}{n}$

思路（为什么这么做）

拉普拉斯（双指数）密度求 MLE →

ln L

对

σ

求导，

\overset{σ}{^} = \frac{1}{n} \sum ∣ X_{i} ∣

。坑：算

E (\overset{σ}{^}), D (\overset{σ}{^})

要认出

∣ X ∣ \sim Exp (1/ σ)

，从而

E ∣ X ∣ = σ, D ∣ X ∣ = σ^{2}

，

D (\overset{σ}{^}) = σ^{2} / n

。

解答

本题考查最大似然估计以及估计量的期望、方差（无偏性）。 先写似然函数取对数。

（I）

L (σ) = i = 1 \prod n f (x_{i}; σ) = \frac{1}{2 ^{n} σ ^{n}} e^{- \frac{1}{σ} \sum_{i = 1}^{n} ∣ x_{i} ∣}

，

ln L = - n ln 2 - n ln σ - \frac{1}{σ} i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣

。令

\frac{d ln L}{d σ} = - \frac{n}{σ} + \frac{1}{σ ^{2}} i = 1 \sum n ∣ x_{i} ∣ = 0

，解得

\overset{σ}{^} = \frac{1}{n} i = 1 \sum n ∣ X_{i} ∣

。

（II）先求

E ∣ X ∣, D ∣ X ∣

。

E ∣ X ∣ = \int_{- \infty}^{+ \infty} ∣ x ∣ \frac{1}{2 σ} e^{- ∣ x ∣/ σ} d x = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x}{σ} e^{- x / σ} d x = σ

。故

E (\overset{σ}{^}) = \frac{1}{n} i = 1 \sum n E ∣ X_{i} ∣ = σ

（无偏）。

E ∣ X ∣^{2} = \int_{0}^{+ \infty} \frac{x ^{2}}{σ} e^{- x / σ} d x = 2 σ^{2}

，故

D ∣ X ∣ = E ∣ X ∣^{2} - (E ∣ X ∣)^{2} = 2 σ^{2} - σ^{2} = σ^{2}

。由样本独立同分布，

D (\overset{σ}{^}) = \frac{1}{n ^{2}} i = 1 \sum n D ∣ X_{i} ∣ = \frac{D ∣ X ∣}{n} = \frac{σ ^{2}}{n}

。

考点：最大似然估计、估计量的评价标准（无偏、有效、一致）

← 2018 年全部题目

2018 年考研数学（三） 第 23 题

2018 年考研数学（三）第 23 题