2018 年考研数学（三） 第 20 题

平方和型二次型 → $f=0$ 化齐次方程组（参数在秩里体现），规范形数「独立正平方」个数。坑：$a=2$ 时三个线性型线性相关（系数行列式 $a-2=0$），配方后只剩 $2$ 个正平方，规范形是 $y_1^2+y_2^2$ 而非三项。

本题考查二次型的规范形与齐次线性方程组。 $f$ 是三个实平方之和，$f=0$ 当且仅当三个括号同时为零。

（I）$f=0⟺\{\begin{array}{l}{x}_1-x_2+x_3=0\\ x_2+x_3=0\\ x_1+a{x}_3=0\end{array}$，系数矩阵 $A=\left(\begin{array}{ccc}1& -1& 1\\ 0& 1& 1\\ 1& 0& a\end{array}\right)\stackrel{\text{初等行变换}}{\to }\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 2\\ 0& 1& 1\\ 0& 0& a-2\end{array}\right)$。当 $a\ne 2$ 时 $r(A)=3$，仅零解 $x_1=x_2=x_3=0$；当 $a=2$ 时 $r(A)=2$，通解 $X=k(-2,-1,1{)}^{\mathrm{T}}$（$k$ 任意）。

（II）当 $a\ne 2$ 时，令 $y_1=x_1-x_2+x_3,y_2=x_2+x_3,y_3=x_1+a{x}_3$，其系数矩阵行列式 $=a-2\ne 0$ 为可逆线性变换，故 $f=y_1^2+y_2^2+y_3^2$，规范形即 $y_1^2+y_2^2+y_3^2$（正惯性指数 $3$）。

当 $a=2$ 时 $f=(x_1-x_2+x_3{)}^2+(x_2+x_3{)}^2+(x_1+2x_3{)}^2=2x_1^2+2x_2^2+6x_3^2-2x_1{x}_2+6x_1{x}_3$，配方得 $f=2{\left(x_1-\frac{x_2-3x_3}{2}\right)}^2+\frac{3}{2}(x_2+x_3{)}^2$，正惯性指数 $2$、负惯性指数 $0$，规范形为 $y_1^2+y_2^2$。