2018 年考研数学（三） 第 19 题

递推含 $\frac{e^{x_n}-1}{x_n}$ → 认出是 $e^t$ 的差商，用拉格朗日中值定理得 $x_{n+1}=\xi \in (0,x_n)$（单调减、有下界 $0$）。坑：求极限方程 $A{e}^A=e^A-1$ 要用单调函数证 $A=0$ 是唯一解，不能只「猜」。

本题考查用单调有界准则证明数列收敛，并结合微分中值定理判单调性。 由 $x_1>0$ 及 $x_n{e}^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1$ 得 $e^{x_{n+1}}=\frac{e^{x_n}-1}{x_n}$。

对函数 $e^t$ 在 $[0,x_n]$ 用拉格朗日中值定理：存在 $\xi \in (0,x_n)$ 使 $\frac{e^{x_n}-1}{x_n}=\frac{e^{x_n}-e^0}{x_n-0}=e^{\xi }$，故 $e^{x_{n+1}}=e^{\xi }$，即 $x_{n+1}=\xi \in (0,x_n)$，得 $0<x_{n+1}<x_n$。

由归纳法 $\{x_n\}$ 单调减少且以 $0$ 为下界，故收敛。设 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=A(A\ge 0)$，在 $x_n{e}^{x_{n+1}}=e^{x_n}-1$ 两边取极限得 $A{e}^A=e^A-1$。

令 $f(x)=x{e}^x-e^x+1$，则 $f^{\prime }(x)=x{e}^x$，当 $x>0$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，$f$ 在 $[0,+\infty )$ 严格增，$f(0)=0$，故 $A=0$ 是方程唯一非负解。所以 $\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=0$。