2018 年考研数学（三） 第 18 题

两个初等函数之差展成幂级数求 $a_n$ → 各自用标准麦克劳林式，再按幂次合并。坑：$\cos 2x$ 只贡献偶次项，故 $a_n$ 必须分奇偶两式；$-\frac{1}{(1+x{)}^2}$ 由 $\frac{1}{1+x}$ 求导得来。

本题考查将初等函数展开为幂级数并合并同类项求系数。 分别展开两部分。

$\cos 2x=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}(2x{)}^{2n}=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{4}^n{x}^{2n}$（只含偶次幂）。

$-\frac{1}{(1+x{)}^2}={\left(\frac{1}{1+x}\right)}^{\prime }=\sum _{n=0}^{\infty }[(-x{)}^n{]}^{\prime }=\sum _{n=1}^{\infty }(-1{)}^{n}n{x}^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n+1}(n+1)x^n$。

于是 $\sum _{n=0}^{\infty }{a}_n{x}^n=\sum _{n=0}^{\infty }\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{4}^n{x}^{2n}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1{)}^{n+1}(n+1)x^n$。比较系数：当 $n$ 为奇数时左端 $\cos 2x$ 无奇次项，$a_n=(-1{)}^{n+1}(n+1)=n+1$；当 $n$ 为偶数时（记 $n=2m$）$a_{2m}=\frac{(-1{)}^m}{(2m)!}{4}^m-(2m+1)$，即 $a_n=\frac{(-1{)}^{n/2}}{n!}{2}^n-n-1$。