2018 年考研数学（三） 第 17 题

「定周长分配、面积和最小」→ 拉格朗日乘数法（目标是正定二次型，驻点必为最小）。坑：面积用周长表示时系数各异（圆 $\frac{1}{4\pi }$、正三角 $\frac{\sqrt{3}}{36}$、正方形 $\frac{1}{16}$）；最终 $S_{\min }$ 恰等于 $-\lambda$。

本题考查条件极值（拉格朗日乘数法）求最小值。 设圆、正方形、正三角形的周长分别为 $x,z,y$，约束为 $x+y+z=2$（$x,y,z\ge 0$）。

由周长写面积：圆 $\pi {\left(\frac{x}{2\pi }\right)}^2=\frac{x^2}{4\pi }$；正三角形 $\frac{\sqrt{3}}{4}{\left(\frac{y}{3}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{36}{y}^2$；正方形 ${\left(\frac{z}{4}\right)}^2=\frac{z^2}{16}$。目标 $S=\frac{x^2}{4\pi }+\frac{\sqrt{3}}{36}{y}^2+\frac{z^2}{16}$。

作 $L=\frac{x^2}{4\pi }+\frac{\sqrt{3}}{36}{y}^2+\frac{z^2}{16}+\lambda (x+y+z-2)$，令 $L_x=\frac{x}{2\pi }+\lambda =0,L_y=\frac{\sqrt{3}}{18}y+\lambda =0,L_z=\frac{z}{8}+\lambda =0$，解得 $x=-2\pi \lambda ,y=-6\sqrt{3}\lambda ,z=-8\lambda$。

代入约束 $x+y+z=2$ 得 $-\lambda (2\pi +6\sqrt{3}+8)=2$，即 $-\lambda =\frac{1}{\pi +3\sqrt{3}+4}$。$S$ 为正定二次型（无界、下有界），唯一驻点即最小值。代回得 $S_{\min }=(-\lambda {)}^2(\pi +3\sqrt{3}+4)=-\lambda =\frac{1}{\pi +3\sqrt{3}+4}$。