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2018 年考研数学（三）第 14 题

填空题 · 4 分

随机事件

A, B, C

相互独立，且

P (A) = P (B) = P (C) = \frac{1}{2}

，则

P (A C ∣ A \cup B) =

______。

提示 1

用条件概率定义，分子是

P (A C \cap (A \cup B))

。

提示 2

注意

A C \subseteq A \subseteq A \cup B

，故交集就是

A C

，

P (A C) = P (A) P (C)

。

提示 3

分母

P (A \cup B)

用加法公式加独立性

P (A B) = P (A) P (B)

。

答案与详解

答案 $\frac{1}{3}$

思路（为什么这么做）

独立事件求条件概率 → 定义式

\frac{P ( A C \cap ( A \cup B ))}{P ( A \cup B )}

。坑：

A C \subseteq A \cup B

使分子化为

P (A C) = P (A) P (C)

，分母用

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A) P (B)

。

解答

本题考查条件概率与事件独立性。 用条件概率定义

P (A C ∣ A \cup B) = \frac{P ( A C \cap ( A \cup B ) )}{P ( A \cup B )}

。

分子：

A C \cap (A \cup B) = A C

（因

A C \subseteq A \subseteq A \cup B

），故

P (A C (A \cup B)) = P (A C) = P (A) P (C) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

。

分母：

P (A \cup B) = P (A) + P (B) - P (A) P (B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{3}{4}

。故

P (A C ∣ A \cup B) = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}

。

考点：条件概率与乘法公式、事件的独立性

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