2018 年考研数学（三） 第 13 题

给出 $A$ 对一组基的作用求 $|A|$ → 写成 $AP=PM$（系数按列排成 $M$），取行列式约去 $|P|$，$|A|=|M|$。坑：$A{\alpha }_i$ 的表示系数放到 $M$ 的第 $i$ 列，别放成行。

本题考查用矩阵的向量表示求行列式。 把三条关系写成矩阵乘积形式。

$A({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)=(A{\alpha }_1,A{\alpha }_2,A{\alpha }_3)=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right)$。

记 $P=({\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3)$，则 $AP=PM$，两边取行列式 $|A||P|=|P||M|$。因 ${\alpha }_1,{\alpha }_2,{\alpha }_3$ 线性无关，$|P|\ne 0$，故 $|A|=|M|=\left|\begin{array}{ccc}1& 0& 1\\ 1& 1& 0\\ 0& 1& 1\end{array}\right|=2$。