2018 年考研数学（三） 第 12 题

看到 $f(x+\Delta x)-f(x)=g(x)\Delta x+o(\Delta x)$ → 就是导数定义，$f^{\prime }(x)=g(x)$。此处 $f^{\prime }=2xf$ 是可分离变量方程，解得 $f=C{e}^{x^2}$。坑：别忘用初值 $f(0)=2$ 定常数。

本题考查由微分（导数定义）识别微分方程并求解可分离变量方程。 由所给关系两边除以 $\Delta x$ 取极限。

$f^{\prime }(x)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}=2xf(x)$，即得可分离变量方程 $\frac{f^{\prime }}{f}=2x$。

积分 $\ln |f|=x^2+c$，故 $f(x)=C{e}^{x^2}$。由 $f(0)=2$ 得 $C=2$，所以 $f(x)=2e^{x^2}$，$f(1)=2e$。