2018 年考研数学（三） 第 11 题

差分方程含 ${\Delta }^2$ → 先用 ${\Delta }^2{y}_x=y_{x+2}-2y_{x+1}+y_x$ 展开化标准式。坑：与 $-y_x$ 合并后 $y_x$ 项抵消，实际是一阶型 $y_{x+2}-2y_{x+1}=5$，齐次解只含一个 $2^x$。

本题考查差分方程求通解。 先用 ${\Delta }^2{y}_x=y_{x+2}-2y_{x+1}+y_x$ 把方程化成标准形式。

${\Delta }^2{y}_x-y_x=(y_{x+2}-2y_{x+1}+y_x)-y_x=y_{x+2}-2y_{x+1}=5$。对应齐次方程 $y_{x+2}-2y_{x+1}=0$ 的通解为 $\overline{y_x}=C\cdot 2^x$（$C$ 任意）。

设非齐次特解为常数 $y_x^{\ast }=A$，代入得 $A-2A=5$，即 $A=-5$。故通解 $y_x=C\cdot 2^x-5$。