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2018 年考研数学（三） 第 10 题
填空题 · 4 分
∫exarcsin1−e2xdx= ______。
提示 1
看到 exdx 就凑微分 d(ex)，把反三角函数放到分部积分里求导。提示 2
求 arcsin1−e2x 的导数时，1−(1−e2x)=ex 会大幅化简。提示 3
余下积分 ∫1−e2xe2xdx 令 u=1−e2x 即得 −1−e2x。答案与详解
答案 exarcsin1−e2x−1−e2x+C
思路（为什么这么做）
被积含
ex⋅(反三角) → 用
exdx=d(ex) 分部积分。坑：
arcsin1−e2x 求导时根号内
1−(1−e2x)=e2x 开根出
ex，让式子迅速化简。
解答
本题考查分部积分。 注意
exdx=d(ex)，把
arcsin1−e2x 当作要求导的部分。
∫exarcsin1−e2xdx=∫arcsin1−e2xd(ex)=exarcsin1−e2x−∫exd(arcsin1−e2x)。
对
arcsin1−e2x 求导：
1−(1−e2x)1⋅21−e2x−2e2x=ex1−e2x−e2x=1−e2x−ex，故余项
−∫ex⋅1−e2x−exdx=∫1−e2xe2xdx=−1−e2x。
合并得
∫exarcsin1−e2xdx=exarcsin1−e2x−1−e2x+C。
考点：换元积分法与分部积分法、不定积分的概念与性质
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