2018 年考研数学（三） 第 15 题

$(ax+b)e^{1/x}-x$ 型含参极限 → 拆成 $x(a{e}^{1/x}-1)+b{e}^{1/x}$，先由「主部收敛」定 $a$，再算极限定 $b$。坑：$x(e^{1/x}-1)$ 令 $t=1/x$ 化 $\frac{e^t-1}{t}\to 1$，不是 $0$。

本题考查含参数的极限（$\infty -\infty$ 型）确定常数。 把表达式拆成含 $x$ 的主部与常数部分。

$(ax+b)e^{1/x}-x=x\left(a{e}^{1/x}-1\right)+b{e}^{1/x}$。当 $x\to +\infty$ 时 $e^{1/x}\to 1$，故 $b{e}^{1/x}\to b$。要极限存在，必有 $x(a{e}^{1/x}-1)$ 收敛，从而 $\underset{x\to +\infty }{\lim }(a{e}^{1/x}-1)=0$，即 $a=1$。

当 $a=1$：$\underset{x\to +\infty }{\lim }x(e^{1/x}-1)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{e^{1/x}-1}{1/x}=1$（用 $e^t-1\sim t$）。于是原极限 $=1+b=2$，得 $b=1$。综上 $a=1,b=1$。