2016 年考研数学（三） 第 9 题

已知复合极限反求内部 $\lim f(x)$ → 把已知式中所有标准部件用等价无穷小替换（$\sqrt{1+u}-1\sim u/2$，${\mathrm{e}}^{3x}-1\sim 3x$，$\sin 2x\sim 2x$），约去公共因子后解出 $\lim f(x)$。坑：替换 $\sqrt{1+u}-1$ 要求 $u\to 0$，此处成立。

本题考查用等价无穷小替换由极限反推 $\lim f(x)$。 当 $x\to 0$（此时 $f(x)\sin 2x\to 0$）时，$\sqrt{1+f(x)\sin 2x}-1\sim \frac{1}{2}f(x)\sin 2x\sim \frac{1}{2}f(x)\cdot 2x=xf(x)$。

分母 ${\mathrm{e}}^{3x}-1\sim 3x$。于是 $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{xf(x)}{3x}=\frac{1}{3}\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=2$。

解得 $\underset{x\to 0}{\lim }f(x)=6$。