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2016 年考研数学（三）第 8 题

选择题 · 4 分

设随机变量

X

与

Y

相互独立，且

X \sim N (1, 2), Y \sim N (1, 4)

，则

D (X Y) =

（　）

A $6$ .
B $8$ .
C $14$ .
D $15$ .

提示 1

先由正态参数读出

E (X), D (X), E (Y), D (Y)

，再用

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2}

求二阶矩。

提示 2

D (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - [E (X Y)]^{2}

；两处都要用独立性拆成

X, Y

各自的期望。

提示 3

代入

E (X^{2}) = 3, E (Y^{2}) = 5, E (X) E (Y) = 1

。

答案与详解

答案 C

思路（为什么这么做）

求独立随机变量乘积的方差

D (X Y)

→ 用

D (X Y) = E (X^{2}) E (Y^{2}) - [E (X) E (Y)]^{2}

。坑：

D (X Y) \neq = D (X) D (Y)

；务必用

E (X^{2}) = D (X) + E (X)^{2}

先补出二阶矩。

解答

本题考查独立随机变量乘积的方差（用二阶矩计算）。 由

X \sim N (1, 2)

得

E (X) = 1, D (X) = 2

；由

Y \sim N (1, 4)

得

E (Y) = 1, D (Y) = 4

。

由方差公式

D (X Y) = E [(X Y)^{2}] - [E (X Y)]^{2} = E (X^{2} Y^{2}) - [E (X) E (Y)]^{2}

（乘积期望用独立性）。

独立

\Rightarrow E (X^{2} Y^{2}) = E (X^{2}) E (Y^{2})

。其中

E (X^{2}) = D (X) + [E (X)]^{2} = 2 + 1 = 3

，

E (Y^{2}) = D (Y) + [E (Y)]^{2} = 4 + 1 = 5

。于是

D (X Y) = 3 \times 5 - (1 \times 1)^{2} = 15 - 1 = 14

。选 C。

考点：方差、数学期望

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