2016 年考研数学（三） 第 7 题

条件概率等于 1 → 立刻转成 $P(AB)=P(B)$（含入关系 $B\subseteq A$）。求 $P(\bar{B}\mid \bar{A})$ 用 $\bar{A}\bar{B}=\overline{A\cup B}$ 和容斥展开。坑：$B\subseteq A$ 等价 $\bar{A}\subseteq \bar{B}$，故 $P(\bar{B}\mid \bar{A})=1$。

本题考查条件概率的定义与事件运算。 由 $P(A\mid B)=1$ 得 $P(AB)=P(B)$，即 $B$ 发生时 $A$ 几乎必然发生。

计算 $P(\bar{B}\mid \bar{A})=\frac{P(\bar{A}\bar{B})}{P(\bar{A})}$。而 $P(\bar{A}\bar{B})=P(\overline{A\cup B})=1-P(A)-P(B)+P(AB)$，代入 $P(AB)=P(B)$ 得 $P(\bar{A}\bar{B})=1-P(A)=P(\bar{A})$。

故 $P(\bar{B}\mid \bar{A})=\frac{P(\bar{A})}{P(\bar{A})}=1$，选 A。（另解：$P(AB)=P(B)\Rightarrow P(\bar{A}B)=0\Rightarrow P(B\mid \bar{A})=0$，再由 $P(B\mid \bar{A})+P(\bar{B}\mid \bar{A})=1$ 得 $P(\bar{B}\mid \bar{A})=1$。）