2016 年考研数学（三） 第 6 题

给惯性指数反求参数 → 求出（带参数的）特征值，把「正/负惯性指数」翻译成「正/负特征值个数」的不等式组。坑：形如 $a\mathbf{E}+(\text{全1矩阵}-\mathbf{E})$ 的矩阵特征值是 $a+(n-1)$ 与 $a-1$（$n-1$ 重）。

本题考查二次型的惯性指数（由特征值的符号确定）。 二次型矩阵 $\mathbf{A}=\left(\begin{array}{ccc}a& 1& 1\\ 1& a& 1\\ 1& 1& a\end{array}\right)$。

该矩阵每行元素之和为 $a+2$，且是「对角 $a$、非对角全 $1$」型，特征值为 ${\lambda }_1=a+2$（一重）与 ${\lambda }_2={\lambda }_3=a-1$（二重）。（可由 $|\lambda \mathbf{E}-\mathbf{A}|=(\lambda -a-2)(\lambda -a+1{)}^2$ 得到。）

正惯性指数 $=1$、负惯性指数 $=2$，即恰有一个正特征值、两个负特征值。故需 $a+2>0$ 且 $a-1<0$，解得 $-2<a<1$。选 C。