2016 年考研数学（三） 第 5 题

判断相似性质对错的准则：能否用同一个可逆矩阵 $\mathbf{P}$ 完成相似变换。${\mathbf{A}}^{-1}$、多项式 $g(\mathbf{A})$ 都保持相似；但 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 的相似矩阵变成 $({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$，故含转置的和 $\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 一般不再相似。

本题考查相似矩阵的性质。 由 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ 知存在可逆 $\mathbf{P}$ 使 ${\mathbf{P}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{P}=\mathbf{B}$。关键：用同一个 $\mathbf{P}$ 能否把左边构造的矩阵化到右边。

A 对：两边转置得 ${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$（令 $\mathbf{Q}=({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$ 即得 ${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\sim {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$）。B 对：${\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^{-1}\mathbf{P}={\mathbf{B}}^{-1}$。D 对：${\mathbf{P}}^{-1}(\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{-1})\mathbf{P}=\mathbf{B}+{\mathbf{B}}^{-1}$。

C 错：${\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\sim {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$ 用的相似变换矩阵是 $({\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}{)}^{-1}$，而 $\mathbf{A}\sim \mathbf{B}$ 用的是 $\mathbf{P}$，二者一般不同，无法用同一矩阵把 $\mathbf{A}+{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$ 相似到 $\mathbf{B}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$。故 C 不一定成立，选 C。