2016 年考研数学（三） 第 4 题

任意项级数含有界因子（$\sin /\cos$）→ 先取绝对值放大成正项再判：能证 $\sum |u_n|$ 收敛即绝对收敛。坑：$\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\sim \frac{1}{2n^{3/2}}$（可裂项相消），故正项级数收敛。

本题考查任意项级数的绝对收敛判定（放大取绝对值 + 正项比较）。 记 $a_n=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}>0$。由 $|\sin (n+k)|\le 1$ 得 $\left|a_n\sin (n+k)\right|\le a_n$。

正项级数 $\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n$ 的部分和裂项相消：$S_n=\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\to 1$，故 $\sum a_n$ 收敛。

由比较判别法，$\sum \left|a_n\sin (n+k)\right|$ 收敛，即原级数绝对收敛，且与 $k$ 无关。选 A。