2016 年考研数学（三） 第 3 题

比较二重积分大小且被积函数在 $x\leftrightarrow y$ 下变号 → 用关于 $y=x$ 的对称性：对称区域上积分为 0，再判断非对称补区域上 $x-y$ 的符号定正负。坑：别硬算积分，抓对称性与符号。

本题考查用积分区域关于 $y=x$ 的对称性判断二重积分的符号。 被积函数 $g(x,y)=\sqrt[3]{x-y}$ 关于直线 $y=x$ 反对称：交换 $x,y$ 变号。

$D_1$（正方形）关于 $y=x$ 对称，故 $J_1={\iint }_{D_1}\sqrt[3]{x-y}={\iint }_{D_1}\sqrt[3]{y-x}=-J_1$，得 $J_1=0$。同理 $D_0=\{0\le x\le 1,x^2\le y\le \sqrt{x}\}$ 也关于 $y=x$ 对称，其上积分为 $0$。

$D_2=D_0\cup \{0\le y\le x^2\}$，在补上的区域里 $y\le x^2\le x$，即 $x-y>0$，被积函数为正，故 $J_2=0+(\text{正})>0$。$D_3=D_0\cup \{\sqrt{x}\le y\le 1\}$，在补上的区域里 $y\ge \sqrt{x}\ge x$，即 $x-y<0$，被积函数为负，故 $J_3=0+(\text{负})<0$。

于是 $J_3<0=J_1<J_2$，选 B。