乐思数学通 › 考研数学（三） › 真题检索 › 2016 年

2016 年考研数学（三）第 2 题

选择题 · 4 分

已知函数

f (x, y) = \frac{e ^{x}}{x - y}

，则（　）

A $f_{x}^{'} - f_{y}^{'} = 0$ .
B $f_{x}^{'} + f_{y}^{'} = 0$ .
C $f_{x}^{'} - f_{y}^{'} = f$ .
D $f_{x}^{'} + f_{y}^{'} = f$ .

提示 1

把

f

写成

e^{x} (x - y)^{- 1}

，对

x

求偏导要用乘积法则（

e^{x}

与

(x - y)^{- 1}

都含

x

）。

提示 2

对

y

求偏导时

e^{x}

视为常数，只需对

(x - y)^{- 1}

求导，注意内层

- y

带来的负号。

提示 3

把

f_{x}^{'} + f_{y}^{'}

通分，分子恰好凑成

e^{x} (x - y)

，约去一个

(x - y)

即得

f

。

答案与详解

答案 D

思路（为什么这么做）

选项都是

f_{x}^{'} \pm f_{y}^{'}

与

f

的关系式 → 直接算出两个偏导再代入验证。坑：

f_{y}^{'}

的两个负号（外层幂函数求导

- 1

与内层

\partial_{y} (x - y) = - 1

）相乘为正。

解答

本题考查二元函数的一阶偏导数计算。 把

f = e^{x} (x - y)^{- 1}

对

x

、

y

分别求偏导。

对

x

：

f_{x}^{'} = \frac{e ^{x} ( x - y ) - e ^{x}}{( x - y ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - y - 1 )}{( x - y ) ^{2}}

；对

y

：

f_{y}^{'} = e^{x} \cdot (- (x - y)^{- 2}) \cdot (- 1) = \frac{e ^{x}}{( x - y ) ^{2}}

。

两者相加：

f_{x}^{'} + f_{y}^{'} = \frac{e ^{x} ( x - y - 1 ) + e ^{x}}{( x - y ) ^{2}} = \frac{e ^{x} ( x - y )}{( x - y ) ^{2}} = \frac{e ^{x}}{x - y} = f

。故选 D。

考点：偏导数

← 2016 年全部题目