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2016 年考研数学（三）第 1 题

选择题 · 4 分

设函数

f (x)

在

(- \infty, + \infty)

内连续，其导函数

y = f^{'} (x)

的图形如图所示。图形特征：

f^{'} (x)

恰有三个零点，自左至右依次为

x_{1} (x_{1} < 1)

、

x_{2}

、

x_{3}

；当

x < x_{1}

时

f^{'} (x) > 0

，当

x_{1} < x < x_{2}

时

f^{'} (x) < 0

（其中在

x = 1

处

f^{'} (x)

有一个向下的尖点，即

f^{'}

在

x = 1

处连续但

f^{''} (1)

不存在），当

x_{2} < x < x_{3}

时

f^{'} (x) > 0

且在某点

x_{0} (x_{2} < x_{0} < x_{3})

处取得极大值，在

x = x_{3}

处曲线

y = f^{'} (x)

与

x

轴相切（

f^{'} (x_{3}) = 0

且是

f^{'}

的极小值），当

x > x_{3}

时

f^{'} (x) > 0

。则（　）

A函数 $f (x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y = f (x)$ 有 2 个拐点.
B函数 $f (x)$ 有 2 个极值点，曲线 $y = f (x)$ 有 3 个拐点.
C函数 $f (x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y = f (x)$ 有 1 个拐点.
D函数 $f (x)$ 有 3 个极值点，曲线 $y = f (x)$ 有 2 个拐点.

提示 1

极值点只数

f^{'} (x)

的变号零点：

f^{'}

由正变负给极大、由负变正给极小；两侧同号的零点（如触轴点）不是极值点。

提示 2

拐点数

f^{''}

变号处，等价于

f^{'} (x)

单调性改变的点；

f^{'}

的极大/极小值点、以及

f^{'}

的尖点处都可能是拐点。

提示 3

注意

x = 1

是

f^{'}

的尖点（

f^{''}

不存在），此处

f^{'}

由减变增仍是拐点；

x_{3}

处

f^{'}

触轴（极小值 0）也是拐点但不是极值点。

答案与详解

答案 B

思路（为什么这么做）

看到「给

f^{'} (x)

图问极值/拐点个数」→ 极值点=

f^{'}

变号零点，拐点=

f^{'}

单调性改变处（

f^{''}

变号）。坑：

f^{'}

触轴不变号 → 不是极值点却是拐点；

f^{'}

的尖点（

f^{''}

不存在）处凹凸若改变仍算拐点。

解答

本题考查用 $f^{'} (x)$ 的图形判断 $f (x)$ 的极值点与拐点。 极值点看

f^{'} (x)

的变号零点（

f^{'}

由正变负或由负变正）；拐点看

f^{''} (x)

变号，即

f^{'} (x)

的单调性发生改变（含

f^{'}

尖点处凹凸改变）。

极值点：

f^{'}

在

x_{1}

由正变负（极大值点），在

x_{2}

由负变正（极小值点）；在

x = 1

处

f^{'}

两侧都为负、不变号，在

x_{3}

处

f^{'}

触轴但两侧都为正、也不变号。故

f (x)

只有

x_{1}, x_{2}

两个极值点。

拐点：

f^{''}

变号（

f^{'}

单调性反转）的点有三处——

x = 1

（

f^{'}

由减变增，尖点两侧凹凸相反）、

x = x_{0}

（

f^{'}

由增变减）、

x = x_{3}

（

f^{'}

由减变增）。故曲线

y = f (x)

有 3 个拐点。

综合得 2 个极值点、3 个拐点，选 B。

考点：曲线的凹凸性与拐点、函数的单调性与极值、导数应用：最值、渐近线、作图

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