2016 年考研数学（三） 第 10 题

$\frac{1}{n}\sum f(\frac{i}{n})$ 型和式极限 → 化为 ${\int }_0^{1}f(x)\mathrm{d}x$。这里把 $\frac{1}{n^2}$ 中一个 $\frac{1}{n}$ 并入通项凑出 $\frac{i}{n}$，识别 $f(x)=x\sin x$。坑：一定要先凑成 $\frac{1}{n}\sum$ 才能对应积分。

本题考查用定积分定义（黎曼和）求和式极限。 把求和整理成 $\frac{1}{n}\sum$ 的形式：$\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^{n}i\sin \frac{i}{n}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n\frac{i}{n}\sin \frac{i}{n}$。

这正是函数 $x\sin x$ 在 $[0,1]$ 上、以 ${\xi }_i=\frac{i}{n}$ 为取点的黎曼和，故极限 $={\int }_0^{1}x\sin x\mathrm{d}x$。

分部积分：${\int }_0^{1}x\sin x\mathrm{d}x=[-x\cos x{]}_0^1+{\int }_0^1\cos x\mathrm{d}x=-\cos 1+\sin 1=\sin 1-\cos 1$。