2016 年考研数学（三） 第 11 题

求隐函数在某点的 $\mathrm{d}z$ → 先代点求 $z$，再对 $x,y$ 分别隐式求导并立即代入定点。坑：本题定点 $x=0$ 使 $x^{2}f$、$2xf$ 项归零，避免真正求 $f_1^{\prime },f_2^{\prime }$；求导时 $f(x-z,y)$ 里 $z$ 依赖 $x,y$，链式法则别漏 $-z^{\prime }$。

本题考查由方程确定的隐函数求全微分。 先定点值：把 $x=0,y=1$ 代入方程得 $(0+1)z-1=0$，即 $z(0,1)=1$。

对方程两边关于 $x$ 求偏导：$z+(x+1)z_x^{\prime }=2xf+x^2{f}_1^{\prime }\cdot (1-z_x^{\prime })$。代入 $(x,y,z)=(0,1,1)$，右端含 $x$ 的项全为 0，得 $1+z_x^{\prime }=0$，即 $z_x^{\prime }(0,1)=-1$。

对方程两边关于 $y$ 求偏导：$(x+1)z_y^{\prime }-2y=x^2[f_1^{\prime }\cdot (-z_y^{\prime })+f_2^{\prime }]$。代入 $(0,1,1)$ 得 $z_y^{\prime }-2=0$，即 $z_y^{\prime }(0,1)=2$。

故 $\mathrm{d}z{|}_{(0,1)}=z_x^{\prime }\mathrm{d}x+z_y^{\prime }\mathrm{d}y=-\mathrm{d}x+2\mathrm{d}y$。