2016 年考研数学（三） 第 12 题

二重积分含 ${\mathrm{e}}^{-y^2}$（或 $\sin y^2$ 等无初等原函数）→ 必须先对另一变量 $x$ 积分。坑：先看清区域用 $|x|\le y$ 定内层 $x$ 上下限 $[-y,y]$；外层用 $t=y^2$ 换元 + 分部。

本题考查二重积分的计算（选好积分次序化解 ${\mathrm{e}}^{-y^2}$）。 因 ${\mathrm{e}}^{-y^2}$ 对 $y$ 无初等原函数，应先对 $x$ 积分。区域 $D$：$0\le y\le 1$，对每个 $y$ 有 $-y\le x\le y$。

${\iint }_D{x}^2{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}x\mathrm{d}y={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-y^2}\left({\int }_{-y}^y{x}^2\mathrm{d}x\right)\mathrm{d}y={\int }_0^1{\mathrm{e}}^{-y^2}\cdot \frac{2y^3}{3}\mathrm{d}y=\frac{2}{3}{\int }_0^1{y}^3{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y$。

令 $t=y^2$（$\mathrm{d}t=2y\mathrm{d}y$）：${\int }_0^1{y}^3{\mathrm{e}}^{-y^2}\mathrm{d}y=\frac{1}{2}{\int }_0^{1}t{\mathrm{e}}^{-t}\mathrm{d}t=\frac{1}{2}[-t{\mathrm{e}}^{-t}-{\mathrm{e}}^{-t}{]}_0^1=\frac{1}{2}(1-2{\mathrm{e}}^{-1})$。

故原积分 $=\frac{2}{3}\cdot \frac{1}{2}(1-2{\mathrm{e}}^{-1})=\frac{1}{3}-\frac{2}{3\mathrm{e}}$。