2016 年考研数学（三） 第 13 题

这种「主对角 $\lambda$、次对角 $-1$、底行给系数」的友矩阵型行列式 → 按第一列（稀疏列）逐层展开递推，结果是系数依次为底行反号的特征多项式。坑：耐心降阶、别漏 $(-1{)}^{i+j}$ 符号。

本题考查行列式的按列（行）展开计算。 该行列式为「$\lambda$ 在对角、$-1$ 在上次对角、最后一行为 $4,3,2,\lambda +1$」的三对角+底行结构，按第一列展开最省。

第一列只有 $(1,1)$ 元 $\lambda$ 与 $(4,1)$ 元 $4$ 非零。按第一列展开：$D=\lambda \cdot M_{11}+4\cdot (-1{)}^{4+1}{M}_{41}$，逐层降阶。

逐步展开可得 $D=\lambda [\lambda ({\lambda }^2+\lambda +2)+3]+4={\lambda }^4+{\lambda }^3+2{\lambda }^2+3\lambda +4$。

（此即以 $4,3,2,1$ 为「反馈系数」的友(companion)型行列式，结果是相应的多项式 ${\lambda }^4+{\lambda }^3+2{\lambda }^2+3\lambda +4$。）